Laskuharjoituksia

[optimistx]

Espoon Keilaniemessä oleva Fortumin pääkonttori ('Nesteen torni) on 84 m korkea (luulisin meren pinnasta, kun on aivan rannassa).

Rakennetaan katolta lähtien asfaltoitu pyörätie Helsingin Rautatieasemalle kevyen liikenteen reittioppaan mukaisesti nykyisen pyörätien yläpuolelle siten, että tie laskeutuu tasaisesti koko matkan, 7.8 km, ja otaksutaan alku- ja loppukohtien korkeuseroksi tasan 80 m.
http://kevytliikenne.ytv.fi/#mapcenter( ... 0*6673906)

Nojakin renkaiden pyörimisvastuskerroin olkoon 0.010 eli kohtalaisen asialliset renkaat tässä suhteessa. Asfaltti on tasalaatuista koko matkan. Nojakin ja ajurin paino olkoon tasan 100 kg, tuuli etelälounas 0.0 m/s (eli tyyntä) koko kokeen ajan, ajajan horoskooppimerkki vaaka. Pyörä on kolmipyörä, merkki tuntematon, väri tummanvihreä, kaunis. Ilmanvastuskerroin Cd on 0.77, ja otsapinta-ala 0.50 m2. Aurinko paistaa, ilmassa suuren urheilujuhlan tuntua.

Pyöräilijä istuu mukavasti tuoliinsa, lupaa olla polkematta lainkaan, vinkkaa kädellään optimistisesti ja määrätietoisesti ja avustaja tönäisee hänet liikkeelle.

Minkä näistä äänestät tapahtuvan:

a) pyörä rullaa Helsingin Rautatieasemalle 7.8 km päähän
b) pyörä pysähtyy matkan varrelle
c) jotain muuta, mitä? (voit kertoa repliikissä)
e) en osaa sanoa

Olisi kiva, jos äänestät ennen kuin luet mahdollisia muita kirjoituksia tästä säikeestä
Kaikenlaiset näkökohdat ovat tervetulleita, ja ehkä aiheesta voisi kehitellä tähän useampiakin laskutehtäviä .

[GodTdd]

Ugh

Koska kulma on niin loiva, karvan verran alle yhden asteen pysähtyy pyörä matkan varrelle. Viimeistään ensimmäiseen tiukkaan käännökseen. En jaksanut laskea muilla arvoilla mutta oletin että nekin olivat valittu järkevästi

-Tatu

[Teemu Kalvas]

Koska korkeusero/matka on enemmän kuin vierintävastus, pyörä rullaa asemalle. Ero on tosin erittäin pieni, joten vauhti on koko ajan melko onneton.

Mutta jos jollain on hyvällä asfaltilla vierintävastus prosentin, renkaat ovat kyllä todella huonot. Sellainen 6-7 promillea olisi 20-tuumaisellakin syytä saavuttaa, 28-tuumaisella joku 4.

[jori]

Olen samaa mieltä Teemun kanssa. Kovin on pehmeillä renkailla lähdetty liikkeelle. Lisää ilmaa renkaisiin ja aurauskulma kohdalleen, niin Rautatieasemalla ollaan alle tunnissa.
Parhaat purjelentokoneetkin taitaisivat juuri ja juuri yltää liitämään tuon reisun -ainakin lähelle. Vauhti olisi kyllä paljon kovempi.

Jori

[optimistx]

Juu, tämähän selvisi yllättävän äkkiä. Kyllä päädyin laskelmissani samantapaisiin tuloksiin kuin Jori. Ensi kerralla sitten kumit pinkeiksi ja vierintävastus puolittuu arvoon 0.005 (eli 5 promillea 10 promillen sijasta). Tai ehkä vielä paremmaksi.

Ketkä laski pyöräilijän likimääräisen loppunopeuden ja matka-ajan? Miten?

Tosin esimerkissä Fortumin vahtimestarit kohteliaasti alkoivat ehdotella aulassa parveileville kypäräpäisille, että jospa väki käyttäisi omaa energiaansa katolle pääsemiseen eikä fuskaisi hisseihin pyörineen pakkautumalla. Ja sitä paitsi, virkkoi muuan heistä, Aatos nimeltään, eikö puolivälistä tornia pääsisi rullaamaan Rautatieasemalle ihan riittävän nopeasti, jos pyörätie alkaisi siitä?

Espoon kaupunki neuvotteli pikapikaa Hgin ja Fortumin kanssa asiasta, ja ihme ja kumma! Toinen pyörätie ilmestyi edellisen alapuolelle, ja siinä oli tasaista laskua 40 m Hgin asemalle. Molemmille lähtötasoille tehtiin myös kilometrin pituiset tasaisesti nousevat pyörätiet niin, että Fortumin aula pysyy siistinä.

Nyt sitten on hienot ympäristöystävälliset pyörätiet siellä.

Pitäisiköhän väsätä jonkinlainen ajosimulaattori, jolla voisi vaikka piirtää graafisesti nopeutta, aikaa, energiankäyttöä ja tehoa matkan eri kohdissa? Ohjelmaan annettaisiin reitin korkeusprofiili, pyörän tiedot, ja polkemisenergia reitin eri osissa. Ohjelma voisi olla nettisivulla javascript-koodina kaikkien nähtävillä.

Vai onko tuollaisia jo valmiina jossain?

[jori]

Ketkä laski pyöräilijän likimääräisen loppunopeuden ja matka-ajan? Miten?

Minä haarukoin karkeasti näin:
Jos oletetaan vierintävastus riippumattomaksi nopeudesta (ei pidä ihan paikkaansa, mutta kelvatkoon) voidaan tien vinouspromilleista vähentää vierintävastuspromillet (88m/7800m-0,008) ja olettaa jäljelle jääneiden promillien kuluvan ilman vatkaamiseen. Jos oletetaan, että em. lasku jätti ilmanvastuksenvoittamiskäyttöön vaikkapa vain 2 promillea = tuhannesosaa, eli kuski+pyörä 100 kg x 2/1000 = 200 g painovoiman verran. Tämä 200 g painovoima on 0,2 kg kertaa maan vetovoiman kiihtyvyys 9,83 = 1.9 N

Ilmanvastus lasketaan: roo Cd A veetoiseen per kaks, jossa roo on ilman tiheys (1,2kg/m³), Cd on ilmanvastuskerroin (0,77) A on otsapinta-ala (0,5 m) ja vee on ajonopeusnopeus.
Tuosta kun pyöritellään, saadaan nopeudeksi, jonka tiedetty voima (F) antaa: v=neliöjuuri(2F/(roo Cd A)). Tuohon kun sijoitetaan arvot saadaan ajonopeudeksi vajaat 3 m/s , mikä on siis yli 10 km/h.

Alkuperäisen tehtävänasettelun suurehkolla vierintävastuskertoimella 0,01 laskettuna ilmanvastuksen voittamiseksi jää vain noin 1 N, joka sekin riittää loppunopeuteen 7,5 km/h

Tuolla parilla Nevtonilla 100 kg pyöräkkö kiihtyisi maksimi nopeuteensa 50 sekunnissa ilman ilmanvastusta. Ilmanvastuksen kanssa tuota tyhjiönopeutta ei teoriassa saavuteta koskaan, mutta riittävän lähelle päästään kohtuullisessa ajassa. Koska ilmanvastus kasvaa nopeuden neliössä, lähelle loppunopeutta päästään muutamassa minuutissa, jolla ei ole noin tunnin ajoaikaan mainittavaa merkitystä. Kiihtymisen loppu on kyllä hidasta. 5% päässä teoreettisesta loppunopeudesta kiihdyttävää voimaa on jäljella vielä 10%, 1% päässä 2%. Differentiaaliyhtälöhän se on, mutta ei ratkea suljetussa muodossa, vaan vaatii numeerisen ratkaisun.

Alkuperäisen tehtävän yhdellä Newtonilla kiihtymiseen menee toki vähän kauemmin, mutta ei niin paljon, että se laskentatarkkuuden rajoissa vaikuttaisi perillepääsyaikaan. Ajoajaksi tulee siis reilu tunti.

Tästä pitäisi nyt ainakin se oppia, että hitailla nopeuksilla ajellen renkaiden vierintävastuksen vaikutus on erittäin merkittävä kulkuvastuksiin, mutta ei niin kauhean merkittävä perillepääsyaikaan.

Pitäisiköhän väsätä jonkinlainen ajosimulaattori, jolla voisi vaikka piirtää graafisesti nopeutta, aikaa, energiankäyttöä ja tehoa matkan eri kohdissa? Ohjelmaan annettaisiin reitin korkeusprofiili, pyörän tiedot, ja polkemisenergia reitin eri osissa. Ohjelma voisi olla nettisivulla javascript-koodina kaikkien nähtävillä.

Tuolla olen asiasta maininnut. http://lowride.info/phpBB3/viewtopic.ph ... tari#p1617
Ei vaan ole tullut sitä päivää, jolloin olisi tullut rauha rakentaa tällainen malli. Minua kiinnostaa varsinkin optimaalisen pyöräkoon hakeminen. Pienillä pyörillä on pieni massa, - hitausmomentti = kiihtyvät nopeammin ja pieni ilmanvastus, mutta niiden vierintävastus on suurempi, kuin suurihalkaisijaisissa pyörissä. Optimi kullekin reittiprofiilille on siellä jossakin.

No, ehkä tulee sekin päivä, jolloin ehdin tämänkin mallin laatimaan.

Jori

[optimistx]

...
Ei vaan ole tullut sitä päivää, jolloin olisi tullut rauha rakentaa tällainen malli. Minua kiinnostaa varsinkin optimaalisen pyöräkoon hakeminen. Pienillä pyörillä on pieni massa, - hitausmomentti = kiihtyvät nopeammin ja pieni ilmanvastus, mutta niiden vierintävastus on suurempi, kuin suurihalkaisijaisissa pyörissä. Optimi kullekin reittiprofiilille on siellä jossakin.
...
Jori

Olen kertakaikkiaan yhä yllättyneempi tämän keskustelupalstan tasosta ja ystävällisestä ilmapiiristä.

Linkkisi innosti kaivamaan esille muinoin privaattikäyttöön väsäämiäni ajosimulaattorin osia ja yrittämään tehdä niistä jotain tänne avoimena koodina, jota saa käyttää ja muuttaa kuka tahansa. Testailut ovat meneillään hyvin tylystä koodista (ts. laskennan ydin on siellä, mutta ei mitään käyttäjäystävällista kosmetiikkaa ja hauskaa tingeltangelia animaatioineen ja käyrineen). Ehkä muutaman päivän kuluttua voivat täällä kokeilla ne, joita jopa raaka numeronpurenta kiinnostaa .

Tuo kysymys etu-ja takapyörän hitausmomentista ja pyöränkoosta sai ihmettelemään, onkohan kaavoissani virhe. Nim. jos otaksutaan hitausmomenttiin vaikuttavien pyörivien osien massan olevan olennaisesti kumien etäisyydellä navasta (hitausmomentti= 1*pyörivämassa * säde²), niin kiihtyvyyteen ei vaikutakaan säde lainkaan, pelkästään kehällä olevat massat . Hitausmomentin takia kiihtyvyys on kerrottava/jaettava tekijällä (1 + (kehämassa1+kehämassa2)/(kokokulkevamassa)). Kun innokkaasti rakentelin 100 kg onton sylinterin mukaisen kulkuvälineen, jonka sisällä painottomana suu virneessä ajelin, niin kyllä tämä sylinteri kaltevalla tasolla kauniisti totteli energiaperiaatetta simulaattorissa: mgh = mv²/2 + J omega² /2. (ts. loppunopeudet alamäen lopussa ilman vierintävastusta, ilmanvastusta olivat suhteessa neliöjuuri 2 tapauksissa, että ontto sylinteri liukui ilman kitkaa vs pyöri ilman kitkaa).

Kun pienemmän pyörän vierintävastus on suurempi kuin suuren, niin kyllähän tästäkin saa kiintoisan tutkittavan.

[Teemu Kalvas]

Tuo kysymys etu-ja takapyörän hitausmomentista ja pyöränkoosta sai ihmettelemään, onkohan kaavoissani virhe. Nim. jos otaksutaan hitausmomenttiin vaikuttavien pyörivien osien massan olevan olennaisesti kumien etäisyydellä navasta (hitausmomentti= 1*pyörivämassa * säde²), niin kiihtyvyyteen ei vaikutakaan säde lainkaan, pelkästään kehällä olevat massat .

Näin se on. Ei ole sinulla virhettä.

Kuitenkin pienemmässä pyörässä yleensä massa on pienempi, ja sen takia Jori sanoi mitä sanoi.

[TKorho]

Kuis palj iso on ero vierintävastuksissa näissä tavallisissa pyöräkoissa? Tuo hitausmomenttiero on tietty selvä, mutta kuten yllä käy ilmi, niin se ero on vain kohtuullinen mutta vierintäkitkaero vaikuttaa koko ajan koko reissun.

[Teemu Kalvas]

Kuis palj iso on ero vierintävastuksissa näissä tavallisissa pyöräkoissa? Tuo hitausmomenttiero on tietty selvä, mutta kuten yllä käy ilmi, niin se ero on vain kohtuullinen mutta vierintäkitkaero vaikuttaa koko ajan koko reissun.

Teoriassa 20" on tasaisella neliöjuuri(28/20) kertaa vastustavampi kuin 28", eli noin 16%. Tuo on aika vähän, kun ottaa huomioon, että ulkomitoiltaan samanlainen jäykkä rengas voi olla kolmekin kertaa vastustavampi kuin ihan samanmuotoinen mutta notkea rengas. Jäykkä tietty on sitten kulutuskestävämpi ja vähemmän taipuvainen rikkoutumaan.

Möykkyisessä maastossa ero voi olla isompi.

Ja vähänkään kovemmassa vauhdissa nämä eivät enää paljon ilmanvastuksen alta tunnu.

[optimistx]

Teoriassa 20" on tasaisella neliöjuuri(28/20) kertaa vastustavampi kuin 28", eli noin 16%.

Mistä löysit kaavat tuohon?

Vierintävastuskertoimia taitaa olla kahdenlaisia, toinen on laaduton Crr kaavassa
F = Crr * m * g
vaakasuoralla alustalla, ja toisessa kertoimessa b on yksikkönä metri,
F = Nf * b /r
mutta silloin esiintyy pyörän säde r siinä:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rolling_resistance

Olisi kiva löytää tyypilliset kertoimet crr pyöräilysimulaattorin esimerkkeihin. Ja tietysti myös Cd*A , ilmanvastuskerroin * otsapintaAla. Näin voisi esimerkkejä käyttää mukavasti lähtökohtina kokeiluihin.

Muokattu: korjattu sana halkaisija säteeksi.

[jori]

Teoriassa 20" on tasaisella neliöjuuri(28/20) kertaa vastustavampi kuin 28", eli noin 16%.

Mistä löysit kaavat tuohon?

Vierintävastuskertoimia taitaa olla kahdenlaisia, toinen on laaduton Crr kaavassa
F = Crr * m * g
vaakasuoralla alustalla, ja toisessa kertoimessa b on yksikkönä metri,
F = Nf * b /r
mutta silloin esiintyy pyörän halkaisija r siinä:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rolling_resistance

Olisi kiva löytää tyypilliset kertoimet crr pyöräilysimulaattorin esimerkkeihin. Ja tietysti myös Cd*A , ilmanvastuskerroin * otsapintaAla. Näin voisi esimerkkejä käyttää mukavasti lähtökohtina kokeiluihin.

Me näköjään vastailemme Teemun kanssa toisillemme esitettyihin kysymyksiin.
Tuo kaava löytyy kahden eri kokoisen samalla voimalla kuormitetun renkaan vertailulle supistamalla samana säilyvät kuormitus ja vierintävastuskerroin pois tuosta F = Nf * b /r kaavasta. Jäljelle jää siis pelkät säteet, jotka selvyyden vuoksi annetaan halkaisijoina, joiden suhteessa vierintävastusvoimat esiintyvät.

Vierintävastuksen analyyttinen teoria on puutaheinää materiaalin hystereeseistä ja nuo kaavat lähinnä hämäystä. Lopultakin siihen vierintävastuskertoimeen (Crr tai b) on piilotettu pelkkä mittaustulos, jota voi hiukan ekstrapoloida noilla säteen ja kuormituksen muutoksilla. Analyyttinen teoria vierintävastuksen muodostumisesta on olematon ja enimmäkseen hakoteillä. Käytä mittaustuloksia, joita tarvittaessa ekstrapoloit noilla kaavoilla.

Hyvänä esimerkkinä vierintävastusteorian alennustilasta on tämä antamasi linkin Wikipedia sivusto, jossa tavallisen henkilöauton renkaille annetaan viisinkertaisia vierintävastuskertoimia todelliseen nähden. Vilkaisepa vaikka samalla sivulla oleva linkki "Low rolling resistance tires", jossa luetellaan vierintävastuskertoimia ihan tavallisille henkilöauton renkaille. Tuokin on vanha mittaus ja nykyiset renkaat vierivät vieläkin paremmin. Wikisivun taulukossa on niin systemaattisesti yläkanttiin nuo auton vierintävastusarvot, että minusta tuossa haiskahtaa palaneen käryä. Nuo oudot mittaustulokset lienevät 60-luvulta ristikudosrenkaiden ajalta. Siltikin tulokset vaikuttavat liian korkeilta. Ei ihme, että siellä on tuo "Citation needed"

Jori

[optimistx]

Olen kokoamassa pyöräilyn ajomallia eli simulaattoria, joka ottaa huomioon mm. vierintävastusta, ilmanvastusta, kokonaismassaa, polkemistehoa, sähkömoottorintehoa, kiekkojen hitausmomenttia, radan korkeusprofiilia, tuulennopeuden radansuuntaista komponenttia (vastaan, myötä). Koodi on javascriptiä, ja kaikille avointa, selaimessa ajettavaa.

On ollut niin kiva koodata ja leikkiä koeajoilla, että ei raatsisi edes lomalle lähteä (viikonloppuna alkaa, 3 viikkoa). Tässä taitaa muuten käydä kuin tarinoiden lentokoneinsinööreille, jotka saivat vapaat kädet: kone ei koskaan lentänyt, koska he voivat aina parantaa suunnitelmaansa ... Joten pistetäänpä hieman stressiä itselle: syyskuun loppuun mennessä saavat halukkaat käyttöön version, olipa se sitten millainen tahansa.

Jorin toivomus voida tutkia pyörien hitausmomenttia on ollut niin kiva juttu, että kaipaisin oikeastaan lisää ideoita siitä, millaiset kysymykset askarruttavat mieltä. Näin voisin ottaa huomioon niiden ratkaisumahdollisuuksia kohtuullisen käyttäjäystävällisesti jo alun perin.

Simulaattoriin voi laatia profiililtaan ja pituudeltaan erilaisia ratoja, esim. kukin voi kuvata oman kotiseuden kantalenkkinsä korkeusprofiilin siihen ja ajaa sillä. Pyöräilijöiden omaisuudet kuvataan lukujonoilla , ja heitä voi pistää ajamaan kilpaa useita yhtä aikaa. Esim. voisi tutkia vierintävastuksen merkitystä polkemisenergian ja muiden energioiden suhteen siten, että pistää radalle useita muuten samanlaisia pyöräilijöitä, mutta erilaisin vierintävastuksin (renkain). Aluksi voi arvella erilaisten kertoimien arvoja, mutta ennen pitkää varmaan herää kiinnostus mitata ulkona oman pyörän ominaisuuksia, ja siihenkin simulaattorin on tarkoitus tarjota mahdollisuus: se voi laskea koejärjestelystä vierintävastuskertoimen ja ilmanvastuskertoimen arvoja.

[optimistx]

Simulaattorin toimimaton versio on nyt paikassahttp://www.24.fi/optimistx/ajomalli2/ajomalli.htm siksi, kun lupasin (itselleni?) syyskuun loppuun mennessä sen kenelle tahansa siinä kunnossa kuin se sattuu olemaan. Versiossa toimii vain jotkut osat, enkä suosittele nyt
kenenkään käyttävän aikaansa sen ajokokeiluihin ennenkuin lähiviikkoina olen viilaillut sen parempaan kuntoon ohjeineen.

Ohjelman teko on ollut vähän liiankin kiinnostavaa ja maailmoja syleileviä jippoja on tutkittu.

Ideana on ollut käsitellä ajamista energiavirtojen kannalta kuin firmojen kirjanpitoa, jossa raha virtaa debetien ja creditien välillä ja tilinpäätöksessä leivotaan kaikesta tiivis sentilleen täsmäävä paketti.

Mutta enempi ensi viikolla.